SEMANA 3

PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA

Probabilidad condicional

es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional de escribe P(A/B) y se lee " la probabilidad de A dado B"

ejemplos:

Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.

se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es hipertensa. ¿cuál es la probabilidad de que el fumador sea hipertenso?

A= ser hipertenso

B= ser fumador

A/B= ser hipertenso y fumador

P A/B=   10  = 0.20
               50

TEOREMA DE BAYES

se utiliza para revisar probabilidades previamente calculadas cuando se posee nueva información, expresa la probabilidad condicional de un evento aleatoria A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de solo A.

la fórmula es:

ejemplo:

en la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona u infante al azar.

a- determine el valor de la probabilidad de que sea menor  de 24 meses.
b- si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.

se definen los sucesos:

suceso H: Seleccionar una niña
suceso V: seleccionar un niño
suceso M: infante menor de 24 meses

a-

P(M) = P(H)*P(M/H) + P(V)*P(M/V) =

  0.6*0.2+0.4*0.35=0.26  ó 26%

b-

P(H/M)=                P(H) * P(M/H)               =
              P(H) * P(M/H) + P(V) * P (M/V)


                    0.60 * 0.2               =  0.12   = 0.46   ó  46%
              0.60 * 0.2 + 0.4* 0.35      0.26

INDEPENDENCIA

En teoría de probabilidades se dice que dos sucesos aleatorios son independientes entre sí cuando la probabilidad de cada uno de ellos no está influida porque el otro suceso ocurra o no, es decir, cuando ambos sucesos no están relacionados.

Dos sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es igual al producto de las probabilidades de que ocurra cada uno de ellos, es decir, si

P (A/B) = P (A) P (B)

ejemplo:

la empresa X dedicada a la venta de carros en un día 150 personas que ya poseen un carro visitan la empresa para comprar otro, de igual forma lo hacen 230 personas que buscan su primer carro.

A) probabilidad de que una persona compre su primer carro es de 230/380 = 0.605

B) Probabilidad de que una persona compre su segundo carro es de 150/380 = 0.394

entonces la probabilidad de que en un día se acerque una persona a comprar su segundo carro y una persona se acerque a comprar su primer carro

P (A/B) = 0.605 * 0.394 = 0.238 =  23%

webgrafia


http://www.vitutor.com/pro/2/a_12.html

SEMANA 2

INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

1. Experimento aleatorio

es una acción o ensayo en el cual no se puede afirmar el resultado final hasta ejecutarlo. Sin embargo, sí se pueden construir los posibles resultados finales antes de ejecutar el experimento.

ejemplo: Un operario de control de calidad revisa uno de los lotes de 50 bombillas.Para ello, debe seleccionar cinco de ellas y probarlas.

2. Espacio muestral

el espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto formado por todos los resultados posibles.

el espacio muestral de un experimento se simboliza como S.

Los espacios muestrales pueden clasificarse como discretos (cuando la cantidad de sucesos elementales es finino o numerable) o continuos ( en los casos en los cuales la cantidad de sucesos básicos posee carácter infinito y por lo tanto, resulta imposible contar)

 ejemplo espacio muestral discreto:

1. Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas.

S = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}

2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.

A = {(b,b,b); (n, n,n)}

3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.

B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}

4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.

C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}

ejemplo espacio muestral continuo:

una moneda se lanza al aire hasta que salga cara.

S= (C, SC, SSC, SSSC, SSSSC, SSSSC,...)

3. Eventos

Es un subconjunto del espacio muestral. Los eventos se simbolizan con letras mayúsculas que generalmente son las primeras del alfabeto.

• si los elementos de un evento son los mismo elementos del espacio muestral, el evento se llama seguro.
•  si el evento es el conjunto vacío, se llama imposible.
• si el evento es un conjunto unitario, el evento se llama unitario o simple.
• para un espacio muestral de n elementos se tienen n eventos simples y disjuntos. La unión de eventos simples debe ser el espacio muestral.

 ejemplos

Experimento

	Resultados	Eventos
Lanzar un dado	Existen 6 resultados posibles:  {1, 2, 3, 4, 5, 6}	Sacar un número par: {2, 4, 6} Sacar un 3: {3} Sacar un 1 o un 3: {1, 3} Sacar un 1 y un 3: { } (Sólo puede salir un número, por lo que esto es imposible. El evento no contiene resultados.)

4. Probabilidad Simple

la probabilidad de ocurrencia de un evento es el cociente entre el número de elementos del evento y el número de elementos del espacio muestral.

sea A un evento de un experimento aleatorio, la probabilidad de ocurrencia de A, P(A) es:

P(A)=  #(A) 

           #(S)

 5. Propiedades de la probabilidad

La probabilidad de ocurrencia de un evento tiene algunas propiedades que se deben tener en cuenta al calcularla.

Axiomas de la probabilidad

1. sea A cualquier evento de un experimento aleatorio, entonces: 

0 ≤ p(A) ≤ 1

 La probabilidad es positiva y menor o igual que 1.

2. sea B un envento simple, entonces P(B)= 1

                                                                    #(S) 

P(B) = 1

 La probabilidad del suceso seguro es 1.

3. sean A y B dos eventos disjuntos,es decir P (A B )= entonces

P(A B)= P(A) + P(B) 

4. Sea A y B eventos intesecantes, es decir P (A B )≠ entonces

P(AB)=P(A) +P(B)-P(A∩ B)

ya que la probabilidad de los eventos son números es posible que a partir de tres valores conocidos se pueda calcular el cuarto, Por lo tanto, de la propiead 4 se tiene que:

P(A B ) = P(A) +P(B)-P(AB)

ejemplos:

•  Si hacemos una encuesta a 100 personas y 60 leen el periódico, 30 leen revistas y son sucesos independientes. Halla la probabilidad de que no lean nada.

• Un barco tiene dos motores. La probabilidad de que funcione el motor A es del 90%, y del B el 70%. Calcular la probabilidad de que no funcione ningún motor en los siguientes casos:

 a) Son independientes

b) La probabilidad de la intersección es del 60%.

c) La probabilidad de la intersección es máxima.

webgrafia
http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U12_L2_T1_text_final_es.html
http://www.ditutor.com/probabilidad/espacio_muestral.html
http://www.vitutor.com/pro/2/a_8.html
 https://matematicasconmuchotruco.wordpress.com/2014/07/18/probabilidad/