SEMANA 3

PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA

Probabilidad condicional

es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional de escribe P(A/B) y se lee " la probabilidad de A dado B"

ejemplos:

Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.

se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es hipertensa. ¿cuál es la probabilidad de que el fumador sea hipertenso?

A= ser hipertenso

B= ser fumador

A/B= ser hipertenso y fumador

P A/B=   10  = 0.20
               50

TEOREMA DE BAYES

se utiliza para revisar probabilidades previamente calculadas cuando se posee nueva información, expresa la probabilidad condicional de un evento aleatoria A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de solo A.

la fórmula es:

ejemplo:

en la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona u infante al azar.

a- determine el valor de la probabilidad de que sea menor  de 24 meses.
b- si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.

se definen los sucesos:

suceso H: Seleccionar una niña
suceso V: seleccionar un niño
suceso M: infante menor de 24 meses

a-

P(M) = P(H)*P(M/H) + P(V)*P(M/V) =

  0.6*0.2+0.4*0.35=0.26  ó 26%

b-

P(H/M)=                P(H) * P(M/H)               =
              P(H) * P(M/H) + P(V) * P (M/V)


                    0.60 * 0.2               =  0.12   = 0.46   ó  46%
              0.60 * 0.2 + 0.4* 0.35      0.26

INDEPENDENCIA

En teoría de probabilidades se dice que dos sucesos aleatorios son independientes entre sí cuando la probabilidad de cada uno de ellos no está influida porque el otro suceso ocurra o no, es decir, cuando ambos sucesos no están relacionados.

Dos sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es igual al producto de las probabilidades de que ocurra cada uno de ellos, es decir, si

P (A/B) = P (A) P (B)

ejemplo:

la empresa X dedicada a la venta de carros en un día 150 personas que ya poseen un carro visitan la empresa para comprar otro, de igual forma lo hacen 230 personas que buscan su primer carro.

A) probabilidad de que una persona compre su primer carro es de 230/380 = 0.605

B) Probabilidad de que una persona compre su segundo carro es de 150/380 = 0.394

entonces la probabilidad de que en un día se acerque una persona a comprar su segundo carro y una persona se acerque a comprar su primer carro

P (A/B) = 0.605 * 0.394 = 0.238 =  23%

webgrafia


http://www.vitutor.com/pro/2/a_12.html

SEMANA 2

INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

1. Experimento aleatorio

es una acción o ensayo en el cual no se puede afirmar el resultado final hasta ejecutarlo. Sin embargo, sí se pueden construir los posibles resultados finales antes de ejecutar el experimento.

ejemplo: Un operario de control de calidad revisa uno de los lotes de 50 bombillas.Para ello, debe seleccionar cinco de ellas y probarlas.

2. Espacio muestral

el espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto formado por todos los resultados posibles.

el espacio muestral de un experimento se simboliza como S.

Los espacios muestrales pueden clasificarse como discretos (cuando la cantidad de sucesos elementales es finino o numerable) o continuos ( en los casos en los cuales la cantidad de sucesos básicos posee carácter infinito y por lo tanto, resulta imposible contar)

 ejemplo espacio muestral discreto:

1. Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas.

S = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}

2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.

A = {(b,b,b); (n, n,n)}

3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.

B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}

4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.

C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}

ejemplo espacio muestral continuo:

una moneda se lanza al aire hasta que salga cara.

S= (C, SC, SSC, SSSC, SSSSC, SSSSC,...)

3. Eventos

Es un subconjunto del espacio muestral. Los eventos se simbolizan con letras mayúsculas que generalmente son las primeras del alfabeto.

• si los elementos de un evento son los mismo elementos del espacio muestral, el evento se llama seguro.
•  si el evento es el conjunto vacío, se llama imposible.
• si el evento es un conjunto unitario, el evento se llama unitario o simple.
• para un espacio muestral de n elementos se tienen n eventos simples y disjuntos. La unión de eventos simples debe ser el espacio muestral.

 ejemplos

Experimento

	Resultados	Eventos
Lanzar un dado	Existen 6 resultados posibles:  {1, 2, 3, 4, 5, 6}	Sacar un número par: {2, 4, 6} Sacar un 3: {3} Sacar un 1 o un 3: {1, 3} Sacar un 1 y un 3: { } (Sólo puede salir un número, por lo que esto es imposible. El evento no contiene resultados.)

4. Probabilidad Simple

la probabilidad de ocurrencia de un evento es el cociente entre el número de elementos del evento y el número de elementos del espacio muestral.

sea A un evento de un experimento aleatorio, la probabilidad de ocurrencia de A, P(A) es:

P(A)=  #(A) 

           #(S)

 5. Propiedades de la probabilidad

La probabilidad de ocurrencia de un evento tiene algunas propiedades que se deben tener en cuenta al calcularla.

Axiomas de la probabilidad

1. sea A cualquier evento de un experimento aleatorio, entonces: 

0 ≤ p(A) ≤ 1

 La probabilidad es positiva y menor o igual que 1.

2. sea B un envento simple, entonces P(B)= 1

                                                                    #(S) 

P(B) = 1

 La probabilidad del suceso seguro es 1.

3. sean A y B dos eventos disjuntos,es decir P (A B )= entonces

P(A B)= P(A) + P(B) 

4. Sea A y B eventos intesecantes, es decir P (A B )≠ entonces

P(AB)=P(A) +P(B)-P(A∩ B)

ya que la probabilidad de los eventos son números es posible que a partir de tres valores conocidos se pueda calcular el cuarto, Por lo tanto, de la propiead 4 se tiene que:

P(A B ) = P(A) +P(B)-P(AB)

ejemplos:

•  Si hacemos una encuesta a 100 personas y 60 leen el periódico, 30 leen revistas y son sucesos independientes. Halla la probabilidad de que no lean nada.

• Un barco tiene dos motores. La probabilidad de que funcione el motor A es del 90%, y del B el 70%. Calcular la probabilidad de que no funcione ningún motor en los siguientes casos:

 a) Son independientes

b) La probabilidad de la intersección es del 60%.

c) La probabilidad de la intersección es máxima.

webgrafia
http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U12_L2_T1_text_final_es.html
http://www.ditutor.com/probabilidad/espacio_muestral.html
http://www.vitutor.com/pro/2/a_8.html
 https://matematicasconmuchotruco.wordpress.com/2014/07/18/probabilidad/

EJEMPLOS

DIAGRAMA DE ÁRBOL

 

  PERMUTACIÓN

Permutaciones sin repetición

En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.

ejemplo

¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?

Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.

Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:

16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000

Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:

16 × 15 × 14 = 3360

Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.

usamos la"función factorial"
La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. 

Ejemplos:

• 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
• 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
• 1! = 1 
•  Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones.

Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:

16! = 20,922,789,888,000

Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14.

¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...

16 × 15 × 14 × 13 × 12 ...		= 16 × 15 × 14 = 3360
13 × 12 ...

¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14

 para elegir en orden 3 bolas de 16, sería:
                              

16!	=	16!	=	20,922,789,888,000	= 3360
(16-3)!		13!		6,227,020,800

ejemplo 2

¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?

10!	=	10!	=	3,628,800	= 90
(10-2)!		8!		40,320

(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)

COMBINACIONES

En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

No entran todos los elementos.

No importa el orden: Juan, Ana.

No se repiten los elementos.

c	3	=	35.34.33	=	6545
	35		3.2.1

Combinaciones con repetición

Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m ≥ n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

Sí se repiten los elementos.

En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?

No entran todos los elementos. Sólo elije 4..

No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.

Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo. 

webgrafia

http://www.disfrutalasmatematicas.com/combinatoria/combinaciones-permutaciones.html

TÉCNICAS DE CONTEO

las técnicas que usamos para enumerar eventos difíciles de cuantificar las conocemos como técnicas de conteo.

en estas tenemos:  
diagrama de árbol
permutaciones
combinaciones

DIAGRAMA DE ÁRBOL

El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta de una serie de pasos, donde cada uno de estos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de estas ramas se conoce como rama de primera generación.

En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimentó (nudo final).

 PERMUTACIONES
Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. 

El número de permutaciones de r objetos seleccionados de un conjunto de n objetos distintos es

   nPR= n(n-1)(n-2).... (n-r+1)

o en notación factorial,
 
COMBINACIONES
Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

el número de maneras en que se pueden seleccionar r objetos de un conjunto de n objetos distintos es

o en notación factorial

webgrafia
https://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_%C3%A1rbol

ESTADISTICA Y PROBABILIDAD

La Probabilidad es la mayor o menor posibilidad de que ocurra un determinado suceso. En otras palabras, su noción viene de la necesidad de medir o determinar cuantitativamente la certeza o duda de que un suceso dado ocurra o no.

Ésta establece una relación entre el número de sucesos favorables y el número total de sucesos posibles.

Por ejemplo, lanzar un dado, y que salga el número uno (caso favorable) está en relación a seis casos posibles (1, 2, 3, 4, 5 y 6); es decir, la probabilidad es 1/6.

Cuando hablamos de probabilidad tenemos que diferenciar los tipos de sucesos que pueden ocurrir, pueden ser: sucesos naturales, son aquellos cuyo resultado podemos predecir; y sucesos por azar, cuyo resultado no podemos predecir, pero que si se conoce los resultados posibles que se pueden dar.

Los sucesos por azar se pueden clasificar en: suceso seguro, es aquel que es cierto, que ocurrirá sin lugar a dudas.
Por ejemplo, si lanzamos un dado, es seguro que saldrá un número del 1 al 6. En suceso posible, es todo lo que compone un fenómeno determinado.
 

 

  
Por ejemplo, al lanzar una moneda, los sucesos posibles son cara o sello.

 

Y de último, tenemos al suceso imposible, el que no pueden ocurrir y se contraponen a un suceso seguro. Por ejemplo, que en una partida de dominó dos jugadores tengan la misma ficha, sería imposible porque son 28 fichas diferentes. La probabilidad es 0 cuando el suceso es imposible y 1 cuando el suceso es seguro.

                    






webgrafia

http://conceptodefinicion.de/probabilidad/